Vers la fin du XIXe siècle, après une période singulièrement féconde en matière de découverte et d’invention mathématique, une partie de la communauté scientifique a ressenti l’exigence de trouver des critères solides tant pour juger de la légitimité de ces démarches que pour guider les recherches mathématiques à venir. L’appel à la logique, dans son rôle de garant de clarté et de rigueur conceptuelle, a eu pour conséquence le nouage d’un lien aussi intime qu’inédit entre la logique, les mathématiques et une théorie de la signification et du langage qui s’est développée dans l’espace de leur articulation. Mais si dans un premier moment cette détermination mutuelle de domaines en principe hétérogènes a pu fonctionner de façon plus ou moins harmonieuse, la découverte par Russell de son célèbre paradoxe inséra au cœur de ce trièdre une tension qui ébranla les espoirs que l’on avait placés en lui. S’ouvrait ainsi la fameuse « crise des fondements », qui allait s’étendre sur une trentaine d’années, jusqu’au moment où les résultats obtenus par Gödel en 1931 opposèrent un constat d’impossibilité aux différentes solutions proposées depuis son commencement.

Mais malgré ce dénouement négatif, la question des fondements mathématiques a témoigné, tant dans sa période naïve que dans sa phase critique, d’une extraordinaire fertilité pour la réflexion philosophique, au-delà même du domaine spécifique de la philosophie des mathématiques, comme l’atteste le développement d’une des traditions majeures de la philosophie contemporaine, à savoir la philosophie dite « analytique ».

Si la marche des développements mathématiques n’a guère été affectée par cette crise, la réflexion logique, en revanche, obligée d’en assumer les conséquences, s’est vue proposer des réponses alternatives à la question des fondements. Parmi les deux grandes théories dans lesquelles ces réponses multiples se laissent typiquement ordonner, la « Théorie des modèles » est devenue le cadre formel privilégié de la réflexion philosophique dans le régime analytique qui s’était développée autour de la question classique des fondements. Les propositions dans le cadre alternatif de la « Théorie de la preuve », tels la Théorie des catégories, ou la Logique linéaire et la Géométrie de l’interaction, présentent un intérêt philosophique non moindre, mais qui ne se laisse pas saisir entièrement à travers les postulats qui structurent la réflexion analytique. Pourtant, les conséquences philosophiques attachées à ces développements logiques relativement nouveaux ne semblent pas encore être pleinement dégagées, au point qu’on pourrait dire que la philosophie de ces logiques attend toujours d’être écrite.

Pour cette nouvelle séance du séminaire « Formalisme(s) » nous nous proposons donc d’aborder ces « fondements alternatifs », dans le but d’explorer les perspectives qu’ils seraient capables d’ouvrir pour la réflexion philosophique. On cherchera notamment à réfléchir aux liens possibles qu’ils pourraient entretenir avec la tradition philosophique de langue française, avec laquelle ces développements partagent non seulement un contexte de production, mais aussi un certain nombre de postulats. On verra apparaître ainsi à l’horizon la question de la possibilité d’une nouvelle entente, sous un signe critique, entre logique, mathématiques et philosophie.

Pour plus d’informations, écrire à Juan Luis Gastaldi ou à Tzuchien Tho

Séminaire « Formalisme(s) : la philosophie française et les sciences formelles »

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